This notebook contains supplementary material for the paper

Non Gaussian extrema counts for CMB maps

Dmitri Pogosyan, Christophe Pichon, and Christophe Gay

definition of differential extrema statistics

Format[H2]=(H^2);Format[H3]=(H^3);

rK1=K1->(((((1+(γ^2)-2 (γ^4)) ⟨(q^2) η⟩)/(3-2 (γ^2)))+(((γ^2) (-1-(γ^2)+26 (γ^4)-28 (γ^6)+8 (γ^8)) ⟨(η^3)⟩)/(2 (((-3+2 (γ^2)))^3)))+(((4-4 (γ^2)) ⟨(q^2) (Subscript[J, 1])⟩)/(3 γ-2 (γ^3)))+((2 (γ^3) (13-14 (γ^2)+4 (γ^4)) ⟨(η^2) (Subscript[J, 1])⟩)/(((-3+2 (γ^2)))^3))+(((24-26 (γ^2)+8 (γ^4)) ⟨η (Subscript[J, 1]^2)⟩)/(((-3+2 (γ^2)))^3))+((2 (5-6 (γ^2)+2 (γ^4)) ⟨(Subscript[J, 1]^3)⟩)/(γ (((-3+2 (γ^2)))^3)))+(((-15+23 (γ^2)-8 (γ^4)) ⟨η (Subscript[J, 2])⟩)/(((-3+2 (γ^2)))^3))-((6 (-2+(γ^2)) (-1+(γ^2)) ⟨(Subscript[J, 1]) (Subscript[J, 2])⟩)/(γ (((-3+2 (γ^2)))^3)))) (Subscript[H, 0])+(⟨1⟩+((⟨(q^4)⟩)/2)+(((6+7 (γ^2)-28 (γ^4)+12 (γ^6)) ⟨(q^2) (η^2)⟩)/(2 (((3-2 (γ^2)))^2)))+(1/(8 (((3-2 (γ^2)))^4)))(γ^2) (12+13 (γ^2)-472 (γ^4)+744 (γ^6)-416 (γ^8)+80 (γ^10)) ⟨(η^4)⟩+((4 (3-6 (γ^2)+2 (γ^4)) ⟨(q^2) η (Subscript[J, 1])⟩)/(γ (((3-2 (γ^2)))^2)))+((8 (γ^3) (-39+59 (γ^2)-32 (γ^4)+6 (γ^6)) ⟨(η^3) (Subscript[J, 1])⟩)/(3 (((3-2 (γ^2)))^4)))-((3 ⟨(q^2) (Subscript[J, 1]^2)⟩)/(((3-2 (γ^2)))^2))+(((-72+93 (γ^2)-48 (γ^4)+8 (γ^6)) ⟨(η^2) (Subscript[J, 1]^2)⟩)/(((3-2 (γ^2)))^4))-((2 (15-16 (γ^2)+6 (γ^4)) ⟨η (Subscript[J, 1]^3)⟩)/(γ (((3-2 (γ^2)))^4)))-((2 (12-14 (γ^2)+5 (γ^4)) ⟨(Subscript[J, 1]^4)⟩)/(3 (((3-2 (γ^2)))^4)))+(((90-177 (γ^2)+96 (γ^4)-16 (γ^6)) ⟨(η^2) (Subscript[J, 2])⟩)/(2 (((3-2 (γ^2)))^4)))+((6 (6-10 (γ^2)+3 (γ^4)) ⟨η (Subscript[J, 1]) (Subscript[J, 2])⟩)/(γ (((3-2 (γ^2)))^4)))+(((3-8 (γ^2)+2 (γ^4)) ⟨(Subscript[J, 1]^2) (Subscript[J, 2])⟩)/(((3-2 (γ^2)))^4))+(((-1+(γ^2)) (-15+7 (γ^2)) ⟨(Subscript[J, 2]^2)⟩)/(4 (((3-2 (γ^2)))^4)))) (Subscript[H, 1])+(-⟨(q^2) η⟩+(((27+36 (γ^2)-224 (γ^4)+192 (γ^6)-48 (γ^8)) ⟨(η^3)⟩)/(6 (((-3+2 (γ^2)))^3)))+(((18-54 (γ^2)+36 (γ^4)-8 (γ^6)) ⟨(η^2) (Subscript[J, 1])⟩)/(γ (((-3+2 (γ^2)))^3)))-((6 ⟨η (Subscript[J, 1]^2)⟩)/(((-3+2 (γ^2)))^3))-((4 γ ⟨(Subscript[J, 1]^3)⟩)/(3 (((-3+2 (γ^2)))^3)))-((3 ⟨η (Subscript[J, 2])⟩)/(((-3+2 (γ^2)))^3))-((2 γ ⟨(Subscript[J, 1]) (Subscript[J, 2])⟩)/(((-3+2 (γ^2)))^3))) (Subscript[H, 2])+(-(1/2) ⟨(q^2) (η^2)⟩-(((54+81 (γ^2)-696 (γ^4)+896 (γ^6)-448 (γ^8)+80 (γ^10)) ⟨(η^4)⟩)/(12 (((3-2 (γ^2)))^4)))-((2 (27-108 (γ^2)+108 (γ^4)-48 (γ^6)+8 (γ^8)) ⟨(η^3) (Subscript[J, 1])⟩)/(3 γ (((3-2 (γ^2)))^4)))+((9 ⟨(η^2) (Subscript[J, 1]^2)⟩)/(((3-2 (γ^2)))^4))+((4 γ ⟨η (Subscript[J, 1]^3)⟩)/(((3-2 (γ^2)))^4))+((2 (γ^2) ⟨(Subscript[J, 1]^4)⟩)/(3 (((3-2 (γ^2)))^4)))+((9 ⟨(η^2) (Subscript[J, 2])⟩)/(2 (((3-2 (γ^2)))^4)))+((6 γ ⟨η (Subscript[J, 1]) (Subscript[J, 2])⟩)/(((3-2 (γ^2)))^4))+((2 (γ^2) ⟨(Subscript[J, 1]^2) (Subscript[J, 2])⟩)/(((3-2 (γ^2)))^4))+(((γ^2) ⟨(Subscript[J, 2]^2)⟩)/(4 (((3-2 (γ^2)))^4)))) (Subscript[H, 3])+(1/6) ⟨(η^3)⟩ (Subscript[H, 4])+(1/24) ⟨(η^4)⟩ (Subscript[H, 5]))γ(1-γ^2)/(2Pi)^(3/2)/2;

rK2=K2-> ((⟨1⟩+((⟨(q^4)⟩)/2)-⟨(q^2) (Subscript[J, 1]^2)⟩+((⟨(Subscript[J, 1]^4)⟩)/18)-(1/3) ⟨(Subscript[J, 1]^2) (Subscript[J, 2])⟩+((⟨(Subscript[J, 2]^2)⟩)/12)) (Subscript[H2, 0])+(-⟨(q^2) η⟩-(2/3) γ ⟨(q^2) (Subscript[J, 1])⟩-(1/3) ⟨η (Subscript[J, 1]^2)⟩-(2/9) γ ⟨(Subscript[J, 1]^3)⟩+(4/3) ⟨η (Subscript[J, 2])⟩+(2/3) γ ⟨(Subscript[J, 1]) (Subscript[J, 2])⟩) (Subscript[H2, 1])+(-(1/2) ⟨(q^2) (η^2)⟩-(2/3) γ ⟨(q^2) η (Subscript[J, 1])⟩-(1/3) (γ^2) ⟨(q^2) (Subscript[J, 1]^2)⟩-(1/6) ⟨(η^2) (Subscript[J, 1]^2)⟩-(2/9) γ ⟨η (Subscript[J, 1]^3)⟩-(2/27) (γ^2) ⟨(Subscript[J, 1]^4)⟩+(2/3) ⟨(η^2) (Subscript[J, 2])⟩+(2/3) γ ⟨η (Subscript[J, 1]) (Subscript[J, 2])⟩+(1/9) (γ^2) ⟨(Subscript[J, 1]^2) (Subscript[J, 2])⟩+(1/18) (γ^2) ⟨(Subscript[J, 2]^2)⟩) (Subscript[H2, 2])+(((⟨(η^3)⟩)/6)+(1/3) γ ⟨(η^2) (Subscript[J, 1])⟩+(2/9) (γ^2) ⟨η (Subscript[J, 1]^2)⟩+(4/81) (γ^3) ⟨(Subscript[J, 1]^3)⟩+(1/9) (γ^2) ⟨η (Subscript[J, 2])⟩+(2/27) (γ^3) ⟨(Subscript[J, 1]) (Subscript[J, 2])⟩) (Subscript[H2, 3])+(((⟨(η^4)⟩)/24)+(1/9) γ ⟨(η^3) (Subscript[J, 1])⟩+(1/9) (γ^2) ⟨(η^2) (Subscript[J, 1]^2)⟩+(4/81) (γ^3) ⟨η (Subscript[J, 1]^3)⟩+(2/243) (γ^4) ⟨(Subscript[J, 1]^4)⟩+(1/18) (γ^2) ⟨(η^2) (Subscript[J, 2])⟩+(2/27) (γ^3) ⟨η (Subscript[J, 1]) (Subscript[J, 2])⟩+(2/81) (γ^4) ⟨(Subscript[J, 1]^2) (Subscript[J, 2])⟩+(1/324) (γ^4) ⟨(Subscript[J, 2]^2)⟩) (Subscript[H2, 4]))1/(8Pi Sqrt[3]);

rK3=K3-> ((((2 ⟨(q^2) (Subscript[J, 1])⟩)/γ)+((⟨η (Subscript[J, 1]^2)⟩)/(γ^2))-((⟨η (Subscript[J, 2])⟩)/(γ^2))) (Subscript[H3, 1])+(⟨1⟩+((⟨(q^4)⟩)/2)+((2 ⟨(q^2) η (Subscript[J, 1])⟩)/γ)+((⟨(η^2) (Subscript[J, 1]^2)⟩)/(2 (γ^2)))-((⟨(η^2) (Subscript[J, 2])⟩)/(2 (γ^2)))) (Subscript[H3, 2])+(-⟨(q^2) η⟩-((⟨(η^2) (Subscript[J, 1])⟩)/γ)) (Subscript[H3, 3])+(-(1/2) ⟨(q^2) (η^2)⟩-((⟨(η^3) (Subscript[J, 1])⟩)/(3 γ))) (Subscript[H3, 4])+(1/6) ⟨(η^3)⟩ (Subscript[H3, 5])+(1/24) ⟨(η^4)⟩ (Subscript[H3, 6]))γ^2/(8Pi )

HermiteP[n_,x_]=2^(-n/2)HermiteH[n,x/Sqrt[2]];

rH={ (Subscript[H, i_])-> Sqrt[1-γ^2]^i HermiteP[i,ν/Sqrt[1-γ^2]], (Subscript[H3, i_])-> HermiteP[i,ν], (Subscript[H2, i_])->Sqrt[1-2/3 γ^2]^(-i)  HermiteP[i,ν/Sqrt[1-2/3 γ^2]]}

ll={}; K1/. rK1/. ⟨a_⟩:>(ll= Append[ll, ⟨a⟩]; ⟨a⟩);  K2/. rK2/. ⟨a_⟩:>(ll= Append[ll, ⟨a⟩]; ⟨a⟩); K3/. rK3/. ⟨a_⟩:>(ll= Append[ll, ⟨a⟩]; ⟨a⟩);
ll=Union[ll]/. η-> x//Rest

rK={rK1,rK2,rK3}/. η->x/. ⟨1⟩-> 1;

Format[K1]=(Subscript[K, 1]);Format[K2]=(Subscript[K, 2]);Format[K3]=(Subscript[K, 3]);

rdndν=Exp[-ν^2/2](1+pm Erf[((γ ν)/(Sqrt[2-2 (γ^2)]))])/Sqrt[2Pi]K3+Sqrt[3/(3-2 γ^2)/2/Pi] Exp[-3ν^2/(6-4 γ^2)](1+pm Erf[((γ ν)/(Sqrt[6-10 (γ^2)+4 (γ^4)]))])K2+
+pm /Sqrt[2 Pi(1-γ^2)]Exp[-ν^2/2/(1-γ^2)]K1

rdsdν=2Sqrt[3/(3-2 γ^2)/2/Pi] Exp[-3ν^2/(6-4 γ^2)]K2

maximum count

rdndν/. pm-> 1/. rK/. rH

(1/(8 (Sqrt[2]) (π^(3/2))))(e^(-((ν^2)/2))) ((((4 (Sqrt[2]) (ν^5)-40 (Sqrt[2]) (ν^3)+60 (Sqrt[2]) ν) ⟨(x^3)⟩)/(24 (Sqrt[2])))+(1/192) (8 (ν^6)-120 (ν^4)+360 (ν^2)-120) ⟨(x^4)⟩+(((2 (Sqrt[2]) (ν^3)-6 (Sqrt[2]) ν) (-⟨(q^2) x⟩-((⟨(x^2) (Subscript[J, 1])⟩)/γ)))/(2 (Sqrt[2])))+(1/4) (4 (ν^4)-24 (ν^2)+12) (-(1/2) ⟨(q^2) (x^2)⟩-((⟨(x^3) (Subscript[J, 1])⟩)/(3 γ)))+ν (((2 ⟨(q^2) (Subscript[J, 1])⟩)/γ)+((⟨x (Subscript[J, 1]^2)⟩)/(γ^2))-((⟨x (Subscript[J, 2])⟩)/(γ^2)))+(1/2) (2 (ν^2)-2) (((⟨(q^4)⟩)/2)+((2 ⟨(q^2) x (Subscript[J, 1])⟩)/γ)+((⟨(x^2) (Subscript[J, 1]^2)⟩)/(2 (γ^2)))-((⟨(x^2) (Subscript[J, 2])⟩)/(2 (γ^2)))+1)) (erf(((γ ν)/(Sqrt[2-2 (γ^2)])))+1) (γ^2)+(1/(8 (π^2)))(e^(-((ν^2)/(2 (1-(γ^2)))))) (Sqrt[1-(γ^2)]) (((2 (4 (γ^4)-14 (γ^2)+13) ⟨(x^2) (Subscript[J, 1])⟩ (γ^3))/(((2 (γ^2)-3))^3))+(((8 (γ^8)-28 (γ^6)+26 (γ^4)-(γ^2)-1) ⟨(x^3)⟩ (γ^2))/(2 (((2 (γ^2)-3))^3)))+(((-2 (γ^4)+(γ^2)+1) ⟨(q^2) x⟩)/(3-2 (γ^2)))+(1/24) (((1-(γ^2)))^2) (((4 (ν^4))/(((1-(γ^2)))^2))-((24 (ν^2))/(1-(γ^2)))+12) ⟨(x^3)⟩+(((((1-(γ^2)))^(5/2)) (((4 (Sqrt[2]) (ν^5))/(((1-(γ^2)))^(5/2)))-((40 (Sqrt[2]) (ν^3))/(((1-(γ^2)))^(3/2)))+((60 (Sqrt[2]) ν)/(Sqrt[1-(γ^2)]))) ⟨(x^4)⟩)/(96 (Sqrt[2])))+(((4-4 (γ^2)) ⟨(q^2) (Subscript[J, 1])⟩)/(3 γ-2 (γ^3)))+(((8 (γ^4)-26 (γ^2)+24) ⟨x (Subscript[J, 1]^2)⟩)/(((2 (γ^2)-3))^3))+(((-8 (γ^4)+23 (γ^2)-15) ⟨x (Subscript[J, 2])⟩)/(((2 (γ^2)-3))^3))+(1/2) (1-(γ^2)) (((2 (ν^2))/(1-(γ^2)))-2) (-⟨(q^2) x⟩+(((-48 (γ^8)+192 (γ^6)-224 (γ^4)+36 (γ^2)+27) ⟨(x^3)⟩)/(6 (((2 (γ^2)-3))^3)))+(((-8 (γ^6)+36 (γ^4)-54 (γ^2)+18) ⟨(x^2) (Subscript[J, 1])⟩)/(γ (((2 (γ^2)-3))^3)))-((6 ⟨x (Subscript[J, 1]^2)⟩)/(((2 (γ^2)-3))^3))-((4 γ ⟨(Subscript[J, 1]^3)⟩)/(3 (((2 (γ^2)-3))^3)))-((3 ⟨x (Subscript[J, 2])⟩)/(((2 (γ^2)-3))^3))-((2 γ ⟨(Subscript[J, 1]) (Subscript[J, 2])⟩)/(((2 (γ^2)-3))^3)))+1/(2 (Sqrt[2]))(((1-(γ^2)))^(3/2)) (((2 (Sqrt[2]) (ν^3))/(((1-(γ^2)))^(3/2)))-((6 (Sqrt[2]) ν)/(Sqrt[1-(γ^2)]))) (((2 ⟨(Subscript[J, 1]^4)⟩ (γ^2))/(3 (((3-2 (γ^2)))^4)))+((2 ⟨(Subscript[J, 1]^2) (Subscript[J, 2])⟩ (γ^2))/(((3-2 (γ^2)))^4))+((⟨(Subscript[J, 2]^2)⟩ (γ^2))/(4 (((3-2 (γ^2)))^4)))+((4 ⟨x (Subscript[J, 1]^3)⟩ γ)/(((3-2 (γ^2)))^4))+((6 ⟨x (Subscript[J, 1]) (Subscript[J, 2])⟩ γ)/(((3-2 (γ^2)))^4))-(1/2) ⟨(q^2) (x^2)⟩-(((80 (γ^10)-448 (γ^8)+896 (γ^6)-696 (γ^4)+81 (γ^2)+54) ⟨(x^4)⟩)/(12 (((3-2 (γ^2)))^4)))+((9 ⟨(x^2) (Subscript[J, 1]^2)⟩)/(((3-2 (γ^2)))^4))+((9 ⟨(x^2) (Subscript[J, 2])⟩)/(2 (((3-2 (γ^2)))^4)))-((2 (8 (γ^8)-48 (γ^6)+108 (γ^4)-108 (γ^2)+27) ⟨(x^3) (Subscript[J, 1])⟩)/(3 (((3-2 (γ^2)))^4) γ)))+ν (((8 (6 (γ^6)-32 (γ^4)+59 (γ^2)-39) ⟨(x^3) (Subscript[J, 1])⟩ (γ^3))/(3 (((3-2 (γ^2)))^4)))+(((80 (γ^10)-416 (γ^8)+744 (γ^6)-472 (γ^4)+13 (γ^2)+12) ⟨(x^4)⟩ (γ^2))/(8 (((3-2 (γ^2)))^4)))+((⟨(q^4)⟩)/2)+(((12 (γ^6)-28 (γ^4)+7 (γ^2)+6) ⟨(q^2) (x^2)⟩)/(2 (((3-2 (γ^2)))^2)))-((3 ⟨(q^2) (Subscript[J, 1]^2)⟩)/(((3-2 (γ^2)))^2))+(((8 (γ^6)-48 (γ^4)+93 (γ^2)-72) ⟨(x^2) (Subscript[J, 1]^2)⟩)/(((3-2 (γ^2)))^4))-((2 (5 (γ^4)-14 (γ^2)+12) ⟨(Subscript[J, 1]^4)⟩)/(3 (((3-2 (γ^2)))^4)))+(((-16 (γ^6)+96 (γ^4)-177 (γ^2)+90) ⟨(x^2) (Subscript[J, 2])⟩)/(2 (((3-2 (γ^2)))^4)))+(((2 (γ^4)-8 (γ^2)+3) ⟨(Subscript[J, 1]^2) (Subscript[J, 2])⟩)/(((3-2 (γ^2)))^4))+((((γ^2)-1) (7 (γ^2)-15) ⟨(Subscript[J, 2]^2)⟩)/(4 (((3-2 (γ^2)))^4)))+1+((4 (2 (γ^4)-6 (γ^2)+3) ⟨(q^2) x (Subscript[J, 1])⟩)/((((3-2 (γ^2)))^2) γ))-((2 (6 (γ^4)-16 (γ^2)+15) ⟨x (Subscript[J, 1]^3)⟩)/((((3-2 (γ^2)))^4) γ))+((6 (3 (γ^4)-10 (γ^2)+6) ⟨x (Subscript[J, 1]) (Subscript[J, 2])⟩)/((((3-2 (γ^2)))^4) γ)))+((2 (2 (γ^4)-6 (γ^2)+5) ⟨(Subscript[J, 1]^3)⟩)/((((2 (γ^2)-3))^3) γ))-((6 ((γ^2)-2) ((γ^2)-1) ⟨(Subscript[J, 1]) (Subscript[J, 2])⟩)/((((2 (γ^2)-3))^3) γ))) γ+(1/(8 (Sqrt[2]) (π^(3/2))))(e^(-((3 (ν^2))/(6-4 (γ^2))))) (Sqrt[(1/(3-2 (γ^2)))]) (((⟨(q^4)⟩)/2)-⟨(q^2) (Subscript[J, 1]^2)⟩+((⟨(Subscript[J, 1]^4)⟩)/18)+((ν (-⟨(q^2) x⟩-(2/3) γ ⟨(q^2) (Subscript[J, 1])⟩-(1/3) ⟨x (Subscript[J, 1]^2)⟩-(2/9) γ ⟨(Subscript[J, 1]^3)⟩+(4/3) ⟨x (Subscript[J, 2])⟩+(2/3) γ ⟨(Subscript[J, 1]) (Subscript[J, 2])⟩))/(1-((2 (γ^2))/3)))+(((((2 (Sqrt[2]) (ν^3))/(((1-((2 (γ^2))/3)))^(3/2)))-((6 (Sqrt[2]) ν)/(Sqrt[1-((2 (γ^2))/3)]))) ((4/81) ⟨(Subscript[J, 1]^3)⟩ (γ^3)+(2/27) ⟨(Subscript[J, 1]) (Subscript[J, 2])⟩ (γ^3)+(2/9) ⟨x (Subscript[J, 1]^2)⟩ (γ^2)+(1/9) ⟨x (Subscript[J, 2])⟩ (γ^2)+(1/3) ⟨(x^2) (Subscript[J, 1])⟩ γ+((⟨(x^3)⟩)/6)))/(2 (Sqrt[2]) (((1-((2 (γ^2))/3)))^(3/2))))-(1/3) ⟨(Subscript[J, 1]^2) (Subscript[J, 2])⟩+((⟨(Subscript[J, 2]^2)⟩)/12)+(((((2 (ν^2))/(1-((2 (γ^2))/3)))-2) (-(1/3) ⟨(q^2) (Subscript[J, 1]^2)⟩ (γ^2)-(2/27) ⟨(Subscript[J, 1]^4)⟩ (γ^2)+(1/9) ⟨(Subscript[J, 1]^2) (Subscript[J, 2])⟩ (γ^2)+(1/18) ⟨(Subscript[J, 2]^2)⟩ (γ^2)-(2/3) ⟨(q^2) x (Subscript[J, 1])⟩ γ-(2/9) ⟨x (Subscript[J, 1]^3)⟩ γ+(2/3) ⟨x (Subscript[J, 1]) (Subscript[J, 2])⟩ γ-(1/2) ⟨(q^2) (x^2)⟩-(1/6) ⟨(x^2) (Subscript[J, 1]^2)⟩+(2/3) ⟨(x^2) (Subscript[J, 2])⟩))/(2 (1-((2 (γ^2))/3))))+(((((4 (ν^4))/(((1-((2 (γ^2))/3)))^2))-((24 (ν^2))/(1-((2 (γ^2))/3)))+12) ((2/243) ⟨(Subscript[J, 1]^4)⟩ (γ^4)+(2/81) ⟨(Subscript[J, 1]^2) (Subscript[J, 2])⟩ (γ^4)+(1/324) ⟨(Subscript[J, 2]^2)⟩ (γ^4)+(4/81) ⟨x (Subscript[J, 1]^3)⟩ (γ^3)+(2/27) ⟨x (Subscript[J, 1]) (Subscript[J, 2])⟩ (γ^3)+(1/9) ⟨(x^2) (Subscript[J, 1]^2)⟩ (γ^2)+(1/18) ⟨(x^2) (Subscript[J, 2])⟩ (γ^2)+(1/9) ⟨(x^3) (Subscript[J, 1])⟩ γ+((⟨(x^4)⟩)/24)))/(4 (((1-((2 (γ^2))/3)))^2)))+1) (erf(((γ ν)/(Sqrt[4 (γ^4)-10 (γ^2)+6])))+1)

minimum count

rdndν/. pm-> -1/. rK/. rH

saddle counts

rdsdν/. rK /. rH

Fortran 90 code

rll=Thread[ll-> ll2]

C code

double* dNextdnu(v,g)
/* DOCUMENT
 returns 
returns maxima,minima, saddle 
 for a excursion threshold v and a gamma g
  convention for cumulants is cijkl= x^i q2^j j1^k j2^l
	SEE ALSO: 
 */ 
{  
 double v,g;  
 
double o[283];  
 double res[3];
o[1]=pow(g,2.);
o[2]=1/o[1];
o[3]=-1.*c1001*o[2];
o[4]=c1020*o[2];
o[5]=1/g;
o[6]=2.*c0110*o[5];
o[7]=o[3]+o[4]+o[6];
o[8]=v*o[7];
o[9]=0.5*c0200;
o[10]=-0.5*c2001*o[2];
o[11]=0.5*c2020*o[2];
o[12]=2.*c1110*o[5];
o[13]=1.+o[9]+o[10]+o[11]+o[12];
o[14]=pow(v,2.);
o[15]=2.*o[14];
o[16]=-2.+o[15];
o[17]=0.5*o[13]*o[16];
o[18]=-1.*c1100;
o[19]=-1.*c2010*o[5];
o[20]=o[18]+o[19];
o[21]=-8.4852813742385702928*v;
o[22]=pow(v,3.);
o[23]=2.8284271247461900976*o[22];
o[24]=o[21]+o[23];
o[25]=0.3535533905932737622*o[20]*o[24];
o[26]=-0.5*c2100;
o[27]=-0.33333333333333333333*c3010*o[5];
o[28]=o[26]+o[27];
o[29]=-24.*o[14];
o[30]=pow(v,4.);
o[31]=4.*o[30];
o[32]=12.+o[29]+o[31];
o[33]=0.25*o[28]*o[32];
o[34]=84.852813742385702928*v;
o[35]=-56.568542494923801952*o[22];
o[36]=pow(v,5.);
o[37]=5.6568542494923801952*o[36];
o[38]=o[34]+o[35]+o[37];
o[39]=0.029462782549439480183*c3000*o[38];
o[40]=360.*o[14];
o[41]=-120.*o[30];
o[42]=pow(v,6.);
o[43]=8.*o[42];
o[44]=-120.+o[40]+o[41]+o[43];
o[45]=0.0052083333333333333333*c4000*o[44];
o[46]=o[8]+o[17]+o[25]+o[33]+o[39]+o[45];
o[47]=-2.*o[1];
o[48]=2.+o[47];
o[49]=1./sqrt(o[48]);
o[50]=g*v*o[49];
o[51]=Erf(o[50]);
o[52]=-0.5*o[14];
o[53]=exp(o[52]);
o[54]=3.+o[47];
o[55]=1/o[54];
o[56]=sqrt(o[55]);
o[57]=0.083333333333333333333*c0002;
o[58]=-0.33333333333333333333*c0021;
o[59]=0.055555555555555555556*c0040;
o[60]=-1.*c0120;
o[61]=1.3333333333333333333*c1001;
o[62]=-0.33333333333333333333*c1020;
o[63]=0.66666666666666666667*c0011*g;
o[64]=-0.22222222222222222222*c0030*g;
o[65]=-0.66666666666666666667*c0110*g;
o[66]=o[18]+o[61]+o[62]+o[63]+o[64]+o[65];
o[67]=-0.66666666666666666667*o[1];
o[68]=1.+o[67];
o[69]=1/o[68];
o[70]=v*o[66]*o[69];
o[71]=0.66666666666666666667*c2001;
o[72]=-0.16666666666666666667*c2020;
o[73]=0.66666666666666666667*c1011*g;
o[74]=-0.22222222222222222222*c1030*g;
o[75]=-0.66666666666666666667*c1110*g;
o[76]=0.055555555555555555556*c0002*o[1];
o[77]=0.11111111111111111111*c0021*o[1];
o[78]=-0.074074074074074074074*c0040*o[1];
o[79]=-0.33333333333333333333*c0120*o[1];
o[80]=o[26]+o[71]+o[72]+o[73]+o[74]+o[75]+o[76]+o[77]+o[78]+o[79];
o[81]=2.*o[14]*o[69];
o[82]=-2.+o[81];
o[83]=0.5*o[69]*o[80]*o[82];
o[84]=pow(o[68],-3./2.);
o[85]=0.16666666666666666667*c3000;
o[86]=0.33333333333333333333*c2010*g;
o[87]=0.11111111111111111111*c1001*o[1];
o[88]=0.22222222222222222222*c1020*o[1];
o[89]=pow(g,3.);
o[90]=0.074074074074074074074*c0011*o[89];
o[91]=0.049382716049382716049*c0030*o[89];
o[92]=o[85]+o[86]+o[87]+o[88]+o[90]+o[91];
o[93]=1./sqrt(o[68]);
o[94]=-8.4852813742385702928*v*o[93];
o[95]=2.8284271247461900976*o[22]*o[84];
o[96]=o[94]+o[95];
o[97]=0.3535533905932737622*o[84]*o[92]*o[96];
o[98]=pow(o[68],2.);
o[99]=1/o[98];
o[100]=0.041666666666666666667*c4000;
o[101]=0.11111111111111111111*c3010*g;
o[102]=0.055555555555555555556*c2001*o[1];
o[103]=0.11111111111111111111*c2020*o[1];
o[104]=0.074074074074074074074*c1011*o[89];
o[105]=0.049382716049382716049*c1030*o[89];
o[106]=pow(g,4.);
o[107]=0.0030864197530864197531*c0002*o[106];
o[108]=0.024691358024691358025*c0021*o[106];
o[109]=0.0082304526748971193416*c0040*o[106];
o[110]=o[100]+o[101]+o[102]+o[103]+o[104]+o[105]+o[107]+o[108]+o[109];
o[111]=-24.*o[14]*o[69];
o[112]=4.*o[30]*o[99];
o[113]=12.+o[111]+o[112];
o[114]=0.25*o[99]*o[110]*o[113];
o[115]=1.+o[9]+o[57]+o[58]+o[59]+o[60]+o[70]+o[83]+o[97]+o[114];
o[116]=-10.*o[1];
o[117]=4.*o[106];
o[118]=6.+o[116]+o[117];
o[119]=1./sqrt(o[118]);
o[120]=g*v*o[119];
o[121]=Erf(o[120]);
o[122]=-4.*o[1];
o[123]=6.+o[122];
o[124]=1/o[123];
o[125]=-3.*o[14]*o[124];
o[126]=exp(o[125]);
o[127]=-1.*o[1];
o[128]=1.+o[127];
o[129]=sqrt(o[128]);
o[130]=-2.+o[1];
o[131]=-1.+o[1];
o[132]=2.*o[1];
o[133]=-3.+o[132];
o[134]=pow(o[133],3.);
o[135]=1/o[134];
o[136]=-6.*c0011*o[5]*o[130]*o[131]*o[135];
o[137]=4.+o[122];
o[138]=3.*g;
o[139]=-2.*o[89];
o[140]=o[138]+o[139];
o[141]=1/o[140];
o[142]=c0110*o[137]*o[141];
o[143]=23.*o[1];
o[144]=-8.*o[106];
o[145]=-15.+o[143]+o[144];
o[146]=c1001*o[135]*o[145];
o[147]=-2.*o[106];
o[148]=1.+o[1]+o[147];
o[149]=c1100*o[55]*o[148];
o[150]=-6.*o[1];
o[151]=2.*o[106];
o[152]=5.+o[150]+o[151];
o[153]=2.*c0030*o[5]*o[135]*o[152];
o[154]=-14.*o[1];
o[155]=13.+o[117]+o[154];
o[156]=2.*c2010*o[89]*o[135]*o[155];
o[157]=-26.*o[1];
o[158]=8.*o[106];
o[159]=24.+o[157]+o[158];
o[160]=c1020*o[135]*o[159];
o[161]=26.*o[106];
o[162]=pow(g,6.);
o[163]=-28.*o[162];
o[164]=pow(g,8.);
o[165]=8.*o[164];
o[166]=-1.+o[127]+o[161]+o[163]+o[165];
o[167]=0.5*c3000*o[1]*o[135]*o[166];
o[168]=pow(o[54],2.);
o[169]=1/o[168];
o[170]=-3.*c0120*o[169];
o[171]=pow(o[54],4.);
o[172]=1/o[171];
o[173]=7.*o[1];
o[174]=-15.+o[173];
o[175]=0.25*c0002*o[131]*o[172]*o[174];
o[176]=-8.*o[1];
o[177]=3.+o[151]+o[176];
o[178]=c0021*o[172]*o[177];
o[179]=3.+o[150]+o[151];
o[180]=4.*c1110*o[5]*o[169]*o[179];
o[181]=3.*o[106];
o[182]=6.+o[116]+o[181];
o[183]=6.*c1011*o[5]*o[172]*o[182];
o[184]=5.*o[106];
o[185]=12.+o[154]+o[184];
o[186]=-0.66666666666666666667*c0040*o[172]*o[185];
o[187]=-16.*o[1];
o[188]=6.*o[106];
o[189]=15.+o[187]+o[188];
o[190]=-2.*c1030*o[5]*o[172]*o[189];
o[191]=-177.*o[1];
o[192]=96.*o[106];
o[193]=-16.*o[162];
o[194]=90.+o[191]+o[192]+o[193];
o[195]=0.5*c2001*o[172]*o[194];
o[196]=59.*o[1];
o[197]=-32.*o[106];
o[198]=6.*o[162];
o[199]=-39.+o[196]+o[197]+o[198];
o[200]=2.6666666666666666667*c3010*o[89]*o[172]*o[199];
o[201]=93.*o[1];
o[202]=-48.*o[106];
o[203]=8.*o[162];
o[204]=-72.+o[201]+o[202]+o[203];
o[205]=c2020*o[172]*o[204];
o[206]=-28.*o[106];
o[207]=12.*o[162];
o[208]=6.+o[173]+o[206]+o[207];
o[209]=0.5*c2100*o[169]*o[208];
o[210]=13.*o[1];
o[211]=-472.*o[106];
o[212]=744.*o[162];
o[213]=-416.*o[164];
o[214]=pow(g,10.);
o[215]=80.*o[214];
o[216]=12.+o[210]+o[211]+o[212]+o[213]+o[215];
o[217]=0.125*c4000*o[1]*o[172]*o[216];
o[218]=1.+o[9]+o[170]+o[175]+o[178]+o[180]+o[183]+o[186]+o[190]+o[195]+o[200]+o[205]+o[209]+o[217];
o[219]=v*o[218];
o[220]=-3.*c1001*o[135];
o[221]=-6.*c1020*o[135];
o[222]=-2.*c0011*g*o[135];
o[223]=-1.3333333333333333333*c0030*g*o[135];
o[224]=-54.*o[1];
o[225]=36.*o[106];
o[226]=-8.*o[162];
o[227]=18.+o[224]+o[225]+o[226];
o[228]=c2010*o[5]*o[135]*o[227];
o[229]=36.*o[1];
o[230]=-224.*o[106];
o[231]=192.*o[162];
o[232]=-48.*o[164];
o[233]=27.+o[229]+o[230]+o[231]+o[232];
o[234]=0.16666666666666666667*c3000*o[135]*o[233];
o[235]=o[18]+o[220]+o[221]+o[222]+o[223]+o[228]+o[234];
o[236]=1/o[128];
o[237]=2.*o[14]*o[236];
o[238]=-2.+o[237];
o[239]=0.5*o[128]*o[235]*o[238];
o[240]=pow(o[128],3./2.);
o[241]=4.5*c2001*o[172];
o[242]=9.*c2020*o[172];
o[243]=6.*c1011*g*o[172];
o[244]=4.*c1030*g*o[172];
o[245]=0.25*c0002*o[1]*o[172];
o[246]=2.*c0021*o[1]*o[172];
o[247]=0.66666666666666666667*c0040*o[1]*o[172];
o[248]=-108.*o[1];
o[249]=108.*o[106];
o[250]=-48.*o[162];
o[251]=27.+o[165]+o[248]+o[249]+o[250];
o[252]=-0.66666666666666666667*c3010*o[5]*o[172]*o[251];
o[253]=81.*o[1];
o[254]=-696.*o[106];
o[255]=896.*o[162];
o[256]=-448.*o[164];
o[257]=54.+o[215]+o[253]+o[254]+o[255]+o[256];
o[258]=-0.083333333333333333333*c4000*o[172]*o[257];
o[259]=o[26]+o[241]+o[242]+o[243]+o[244]+o[245]+o[246]+o[247]+o[252]+o[258];
o[260]=1./sqrt(o[128]);
o[261]=-8.4852813742385702928*v*o[260];
o[262]=pow(o[128],-3./2.);
o[263]=2.8284271247461900976*o[22]*o[262];
o[264]=o[261]+o[263];
o[265]=0.3535533905932737622*o[240]*o[259]*o[264];
o[266]=pow(o[128],2.);
o[267]=-24.*o[14]*o[236];
o[268]=1/o[266];
o[269]=4.*o[30]*o[268];
o[270]=12.+o[267]+o[269];
o[271]=0.041666666666666666667*c3000*o[266]*o[270];
o[272]=pow(o[128],5./2.);
o[273]=84.852813742385702928*v*o[260];
o[274]=-56.568542494923801952*o[22]*o[262];
o[275]=pow(o[128],-5./2.);
o[276]=5.6568542494923801952*o[36]*o[275];
o[277]=o[273]+o[274]+o[276];
o[278]=0.0073656956373598700458*c4000*o[272]*o[277];
o[279]=o[136]+o[142]+o[146]+o[149]+o[153]+o[156]+o[160]+o[167]+o[219]+o[239]+o[265]+o[271]+o[278];
o[280]=-0.5*o[14]*o[236];
o[281]=exp(o[280]);
res[0]=0.015873408983560242446*o[1]*o[46]*(1.+o[51])*o[53]+0.015873408983560242446*o[56]*o[115]*(1.+o[121])*o[126]+0.01266514795529222143*g*o[129]*o[279]*o[281];
res[1]=0.015873408983560242446*o[1]*o[46]*(1.-1.*o[51])*o[53]+0.015873408983560242446*o[56]*o[115]*(1.-1.*o[121])*o[126]-0.01266514795529222143*g*o[129]*o[279]*o[281];
res[2]=0.031746817967120484893*o[56]*o[115]*o[126];
return res; 
}

Cumulants up to 9th order

Gram Charlier coefficients up to 9 th order expressed via field cumulants

rt

Genus to third order in σ

I2=(J1^2-J2)/4

χ=(((E^(-((ν^2)/2))) )/(24 (Sqrt[2]) (π^(3/2)) (Subscript[R, *]^2)))((σ^3)((Subscript[H, 2])(ν) (2 ⟨(x^3)⟩ ((⟨(Subscript[J, 1]) (q^2)⟩)^2)-2 ⟨(Subscript[J, 1]) (q^2)⟩ ⟨(Subscript[J, 1]) (x^3)⟩-3 γ ⟨(Subscript[J, 1]) (q^2)⟩ ⟨(q^2) (x^2)⟩+(3/2) γ ⟨((q^2)^2)⟩ ⟨(Subscript[J, 1]) (x^2)⟩+6 γ ⟨(Subscript[J, 1]) (q^2) (x^2)⟩-((3 ⟨(Subscript[J, 1]) (q^2)⟩ ((⟨(Subscript[J, 1]) (x^2)⟩)^2))/(2 γ))+6 ⟨(Subscript[J, 1]) (x^2)⟩ ⟨(Subscript[J, 1]) (q^2) x⟩+((6 ⟨(Subscript[I, 2]) (x^2)⟩ ⟨(Subscript[J, 1]) (x^2)⟩)/γ)-4 ⟨(Subscript[I, 2]) (q^2)⟩ ⟨(x^3)⟩+3 (γ^2) ⟨((q^2)^2) x⟩-12 (γ^2) (⟨((q^4)/2)⟩-⟨(Subscript[x, 1]^2) (Subscript[x, 2]^2)⟩ ) ⟨((q^2)^2) x⟩+4 ⟨(Subscript[I, 2]) (x^3)⟩)+(Subscript[H, 4])(ν) (-(1/4) γ ⟨(x^4)⟩ ⟨(Subscript[J, 1]) (q^2)⟩+2 γ ⟨(x^3)⟩ ⟨(Subscript[J, 1]) (q^2) x⟩-(1/2) ⟨(x^3)⟩ ⟨(Subscript[J, 1]) (q^2)⟩ ⟨(Subscript[J, 1]) (x^2)⟩-(1/2) γ ⟨(Subscript[J, 1]) (x^4)⟩+(1/2) (γ^2) ⟨((q^2)^2)⟩ ⟨(x^3)⟩-(γ^2) ⟨(q^2) (x^3)⟩+2 ⟨(x^3)⟩ ⟨(Subscript[I, 2]) (x^2)⟩)+(Subscript[H, 6])(ν) (-(1/12) γ ((⟨(x^3)⟩)^2) ⟨(Subscript[J, 1]) (q^2)⟩-(1/3) γ ⟨(x^3)⟩ ⟨(Subscript[J, 1]) (x^3)⟩-(1/8) γ ⟨(x^4)⟩ ⟨(Subscript[J, 1]) (x^2)⟩-(1/2) (γ^2) ⟨(x^3)⟩ ⟨(q^2) (x^2)⟩+(1/20) (γ^2) ⟨(x^5)⟩)+(Subscript[H, 8])(ν) ((1/24) (γ^2) ⟨(x^3)⟩ ⟨(x^4)⟩-(1/24) γ ((⟨(x^3)⟩)^2) ⟨(Subscript[J, 1]) (x^2)⟩)+(1/216) (γ^2) (Subscript[H, 10])(ν) ((⟨(x^3)⟩)^3)+9 γ ⟨((q^2)^2)⟩ ⟨(Subscript[J, 1]) (q^2)⟩-6 γ ⟨(Subscript[J, 1]) ((q^2)^2)⟩+((18 ((⟨(Subscript[J, 1]) (q^2)⟩)^2) ⟨(Subscript[J, 1]) (x^2)⟩)/γ)-((24 ⟨(Subscript[I, 2]) (q^2)⟩ ⟨(Subscript[J, 1]) (x^2)⟩)/γ)+24 γ (⟨((q^4)/2)⟩-⟨(Subscript[x, 1]^2) (Subscript[x, 2]^2)⟩ )⟨(Subscript[J, 1]) ((q^2)^2)⟩+24 ⟨(Subscript[J, 1]) (q^2)⟩ ⟨(Subscript[J, 1]) (q^2) x⟩-24 ⟨(Subscript[I, 2]) (q^2) x⟩)+(σ^2)((Subscript[H, 1])(ν) (-3 ⟨(Subscript[J, 1]) (q^2)⟩ ⟨(Subscript[J, 1]) (x^2)⟩+12 γ ⟨(Subscript[J, 1]) (q^2) x⟩+3 (γ^2) ⟨((q^2)^2)⟩+12 ⟨(Subscript[I, 2]) (x^2)⟩)+(Subscript[H, 3])(ν) (-γ ⟨(x^3)⟩ ⟨(Subscript[J, 1]) (q^2)⟩-2 γ ⟨(Subscript[J, 1]) (x^3)⟩-3 (γ^2) ⟨(q^2) (x^2)⟩)+(Subscript[H, 5])(ν) ((1/4) (γ^2) ⟨(x^4)⟩-(1/2) γ ⟨(x^3)⟩ ⟨(Subscript[J, 1]) (x^2)⟩)+(1/12) (γ^2) (Subscript[H, 7])(ν) ((⟨(x^3)⟩)^2))+σ(γ (-3 (Subscript[H, 2])(ν) ⟨(Subscript[J, 1]) (x^2)⟩+γ (Subscript[H, 4])(ν) ⟨(x^3)⟩-6 ⟨(Subscript[J, 1]) (q^2)⟩)))