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I.4 Equation de Boltzmann sans collision

I.4.1 Formulation

Dans la limite fluide, c'est-à-dire de grand $N$, l'évolution de la fonction de distribution d'un système de particules ne se fait pas par sauts, mais de façon continue. Ainsi la fonction de distribution suit une équation de continuité (voir COURS II, chap. 1), qui de la manière la plus simple s'écrit :

\begin{displaymath}
\fbox{$\displaystyle\textcolor{red}{{df \over dt} = 0}$}  ,
\end{displaymath} (I-44)

c'est-à-dire que la densité dans l'espace de phases est constante c'est-à-dire que la dérivée convective est nulle, ce qui revient encore à dire que le volume 6D occupé par un ensemble de particules est constant. Comme $f = f({\bf x}, {\bf v}, t)$, on a directement
\begin{displaymath}
{df \over dt} =
{\partial f\over \partial t} + {\bf v} \cdot \nabla f
+ {d{\bf v} \over dt} \cdot {df \over d{\bf v}}  .
\end{displaymath} (I-45)

La condition $df/dt = 0$ s'écrit alors :
\begin{displaymath}
\fbox{$\displaystyle\textcolor{red}{{\partial f\over \partia...
...ot \nabla f
- \nabla \Phi \cdot {df \over d{\bf v}} = 0}$}  .
\end{displaymath} (I-46)

L'équation (I-46), qui a été introduite en astrophysique par Jeans (1915) est appelée équation de Boltzmann sans collision ou équation de Liouville (qui réprésente en général l'équation de la distribution dans l'espace de phases à $6 N$ dimensions), ou encore équation de Vlasov (voir Hénon 1982 pour ce problème de nomenclature).

La notation générale

\begin{displaymath}
{\bf w} = ({\bf x}, {\bf v})
\end{displaymath} (I-47)

définit une coordonnée de l'espace 6-dimensionnelle de phases, ce qui permet d'écrire l'équation (I-46) plus simplement :
\begin{displaymath}
{\partial f\over \partial t} + {\bf\dot w} \cdot \nabla_w f = 0  ,
\end{displaymath} (I-48)

$\nabla_w = \sum_{i=1}^6 {\bf e_i} {\partial / \partial w_i}$. En intégrant l'équation (I-48) sur les 6 coordonnées de l'espace de phases, le premier terme contribue
\begin{displaymath}
\int{\partial f\over \partial t}  d^6 w = {\partial \left (...
...right )
\over
\partial t} = {\partial M \over \partial t}
 ,
\end{displaymath} (I-49)

ce qui représente la variation intrinsèque de la masse dans un volume donné de l'espace de phases. De même, le second terme contribue
\begin{displaymath}
\int {\bf\dot w}\cdot \nabla_w f   d^6 w =
\int \nabla_w \c...
...t w} d^6 w  = \int \nabla_w \cdot (f {\bf\dot w}) d^6 w  .
\end{displaymath} (I-50)

Le second terme de la seconde égalité est nul car
\begin{displaymath}
\nabla_w \cdot {\bf\dot w} = \sum_{i=1}^6 {\partial \dot w_i...
..._i} \left ({\partial \Phi \over
\partial x_i} \right ) = 0  ,
\end{displaymath} (I-51)

puisque les vitesses sont indépendantes des positions, et les gradients de potentiel, fonctions des positions, sont indépendantes des vitesses. L'équation (I-50) devient donc
\begin{displaymath}
\int {\bf\dot w}\cdot \nabla_w f   d^6 w =
\int \nabla_w \c...
...\bf\dot w}) d^6 w =
\int f {\bf\dot w} \cdot {\bf d_w S}  ,
\end{displaymath} (I-52)

où la seconde égalité provient du théorème de la divergence (éq. [I-12]), et où $d_w S$ est une surface (à 5 dimensions) de l'espace de phases.

Les équations (I-49) et (I-52) conduisent alors à

\begin{displaymath}
{\partial M \over \partial t} = - \int f  {\bf\dot w} {\bf d_w S}  .
\end{displaymath} (I-53)

Le terme ${\bf\dot w} {\bf d_w S}$ représente un début volumique et $f {\bf\dot w} {\bf d_w S}$ un débit de mase. On déduit donc de l'équation (I-53) que l'équation de Boltzmann sans collisions est analogue à une équation de continuité du fluide 6D de l'espace de phases, où la variation intrinsèque du nombre de particules est équilibrée par le taux net de particules sortant de la surface de l'élément de volume 6D.

L'équation de Boltzmann sans collision régit tous les systèmes dynamiques, qu'ils soient en équilibre ou non.Quand un système dynamique est composé de plusieurs sous-systèmes de particules (par exemple, de masse donnée), l'équation de Boltzmann sans collision s'applique à chaque sous-système.

I.4.2 Coordonnées sphériques

En coordonnées sphériques, les 6 variables de l'espace de phases sont $r$, $\theta$, $\phi$, $v_r$, $v_\theta$ et $v_\phi $. L'équation de Boltzmann sans collision (éq. [I-46]) devient

\begin{displaymath}
{\partial f\over \partial t}
+ \dot r {\partial f \over \pa...
...theta}
+ \dot {v_\phi} {\partial f \over \partial v_\phi}
 .
\end{displaymath} (I-54)

Figure I-2: Coordonnées sphériques
\begin{figure}\htmlimage
\centering
\includegraphics[width=12cm]{IMAGES/sphcoord.ps}\end{figure}

Pour continuer il faut évaluer les dérivées des coordonnées dans l'espace de phases. Pour cela, on note qu'en coordonnées sphériques, si on appelle E le vecteur dans les trois composantes sont ${\bf e_r}$, ${\bf e_\theta}$ et ${\bf e_\phi}$, alors il est facile de montrer (voir Fig. I-2) que

\begin{displaymath}
{\partial {\bf E} \over \partial r} = {\bf0}  ,
\end{displaymath} (I-55)


\begin{displaymath}
{\partial {\bf E} \over \partial \theta} = \left (
\begin{ar...
... \\
-1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right ) {\bf E}  ,
\end{displaymath} (I-56)

et
\begin{displaymath}
{\partial {\bf E} \over \partial \phi} = \left (
\begin{arra...
...\\
-\sin\theta & -\cos\theta & 0
\end{array}\right ) {\bf E}
\end{displaymath} (I-57)

Alors étant donné que

\begin{displaymath}
{\bf r} = r {\bf e_r}
\end{displaymath} (I-58)

on a :
\begin{displaymath}
{\bf v} = {d{\bf r}\over dt} = \dot r  {\bf e_r} + r  \dot...
...ta  {\bf
e_\theta}
+ r \sin\theta  \dot \phi  {\bf e_\phi}
\end{displaymath} (I-59)

et
$\displaystyle {\bf a}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \left (\ddot r - r {\dot\theta}^2 - r \sin^2\theta {\dot\phi}^2
\right ) {\bf e_r}$  
    $\displaystyle \quad + \left (2 \dot r \dot\theta + r \ddot \theta -
r \sin\theta\cos\theta {\dot\phi}^2 \right ) {\bf e_\theta}$  
    $\displaystyle \quad + \left (r \sin\theta \ddot\phi + 2 \dot r  \sin\theta \dot\phi
+ 2 r \cos\theta \dot\theta \dot\phi \right ) {\bf e_\phi}$ (I-60)

Alors, d'après l'équation (I-59) on a les relations

$\displaystyle \dot r$ $\textstyle =$ $\displaystyle v_r  ,$ (I-61)
$\displaystyle \dot \theta$ $\textstyle =$ $\displaystyle {v_\theta \over r}  ,$ (I-62)
$\displaystyle \dot \phi$ $\textstyle =$ $\displaystyle {v_\phi \over r\sin\theta}  ,$ (I-63)

et avec les équations (I-22) et (I-60), en symétrie sphérique on a les relations
$\displaystyle \dot v_r$ $\textstyle =$ $\displaystyle \ddot r = -{d\Phi\over dr} + {\left (v_\theta^2 + v_\phi^2 \right
) \over r}$  
$\displaystyle \dot v_\theta$ $\textstyle =$ $\displaystyle \dot r  \dot\theta + r \ddot \theta =
- {\left ( v_r v_\theta - \cot\theta v_\phi^2 \right )\over r}$  
$\displaystyle \dot v_\phi$ $\textstyle =$ $\displaystyle \dot r \sin\theta \dot\phi +
r \cos\theta \dot\theta \dot\ph...
...phi = -
{\left (v_r v_\phi + \cot\theta v_\theta v_\phi \right )\over r}  .$ (I-64)

Avec les équations (I-63) et (I-64), l'équation de Boltzmann sans collision (éq. [I-54]) devient

$\displaystyle {\partial f\over \partial t}$ $\textstyle +$ $\displaystyle v_r  {\partial f \over \partial r}
+ {v_\theta\over r}  {\parti...
..._\phi^2 \over r} - {d\Phi \over d r}
\right )  {\partial f \over \partial v_r}$  
  $\textstyle +$ $\displaystyle {1\over r} \left (v_\phi^2 \cot\theta - v_r v_\theta
\right )  {...
...\theta \cot\theta \right)
\right ]  {\partial f \over \partial v_\phi} = 0
 .$ (I-65)


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Gary Mamon [x8115] 2009-01-29