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I.2 Théorie du potentiel

I.2.1 L'équation de Poisson

Cette section s'inspire largement du Binney & Tremaine (1987, chap. 2.0.1).

Le module de la force gravitationnelle de (Newton) qu'une masse $M'$ exerce sur une masse $M$ s'écrit

\begin{displaymath}
\fbox{$\displaystyle\textcolor{red}{F = {G m m' \over r^2}}$}  ,
\end{displaymath}

$G = 6.67 \times 10^{-8}  \rm cm^3 g^{-1} s^{-2}$ est la constante de gravitation. Plus généralement, la force de gravitation subie par $m$ provenant d'une collection continue de masses $dm = \rho({\bf x'})  d^3 {\bf x'}$ s'écrit
\begin{displaymath}
\fbox{$\displaystyle\textcolor{red}{{\bf F}({\bf x}) = G m \...
...\bf x}
\right\vert^3}
 \rho({\bf x'})  d^3 {\bf x'}}$}  .
\end{displaymath} (I-1)

De même, le potentiel gravitationnel s'écrit généralement (avec la convention d'un potentiel nul à l'infini)
\begin{displaymath}
\fbox{$\displaystyle\textcolor{red}{
\Phi({\bf x}) = - G \in...
...\left \vert{\bf x'}-{\bf x} \right\vert}
 d^3 {\bf x'}}$}  ,
\end{displaymath} (I-2)

avec
\begin{displaymath}
\fbox{$\displaystyle\textcolor{red}{{\bf F} = - m  \nabla_{\bf x} \Phi}$}  ,
\end{displaymath} (I-3)

ou le gradient du potentiel (éq. [I-2]) est exprimé par rapport aux coordonnées de ${\bf x}$.

Calculons maintenant la divergence de la force. D'après l'équation (I-1) on a

\begin{displaymath}
\nabla_{\bf x} \cdot {\bf F} = G m \int \nabla_{\bf x} \cdo...
...f x} \right\vert^3} \right)
\rho({\bf x'})  d^3 {\bf x'}  .
\end{displaymath} (I-4)

On a en général :
\begin{displaymath}
\nabla \cdot \left (\lambda {\bf u}\right ) = \sum_i {\parti...
...ambda \nabla \cdot {\bf u} + {\bf u} \cdot
\nabla \lambda  ,
\end{displaymath} (I-5)

donc,
\begin{displaymath}
\nabla_{\bf x} \cdot \left (
{{\bf x'}-{\bf x} \over \left \...
...abla_{\bf x}
\left \vert{\bf x'}-{\bf x} \right\vert^{-3}
 .
\end{displaymath} (I-6)

Puisque

\begin{displaymath}
\nabla_{\bf x} \cdot {\bf x} =
{\partial x \over \partial x...
...ial y \over \partial y}
+
{\partial z \over \partial z} = 3 ,
\end{displaymath}

on a
\begin{displaymath}
\nabla_{\bf x} \cdot ({\bf x'}-{\bf x}) = -3  .
\end{displaymath} (I-7)

D'autre part, avec

\begin{displaymath}
\nabla f^\alpha = \sum_i {\bf e_i} {\partial f^\alpha \over...
...ial f \over \partial
x_i} = \alpha f^{\alpha-1} \nabla f  ,
\end{displaymath}

on a
\begin{displaymath}
\nabla_{\bf x} \left (\left \vert{\bf x'}-{\bf x} \right\ver...
...right)^2 \over
\left \vert{\bf x'}-{\bf x} \right\vert^5}  .
\end{displaymath} (I-8)

Or
\begin{displaymath}
\nabla \left ({\bf x'}-{\bf x} \right)^2 = \sum_i {\bf e_i}
...
...e_i} \left (x'_i-x_i \right )
= -2  ({\bf x'} - {\bf x})  ,
\end{displaymath} (I-9)

où, ${\bf e_i}$ est le vecteur unitaire dans la direction $i$. Alors, en utilisant les équations (I-6), (I-7), (I-8) et (I-9) on arrive à
$\displaystyle \nabla_{\bf x} \cdot \left (
{{\bf x'}-{\bf x} \over \left \vert{\bf x'}-{\bf x}
\right\vert^3} \right)$ $\textstyle =$ $\displaystyle - {3 \over \left \vert{\bf x'}-{\bf x}
\right\vert^3} + 3 {\left ({\bf x'}-{\bf x} \right)^2 \over
\left \vert{\bf x'}-{\bf x}
\right\vert^5}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle 0 \qquad ({\bf x} \neq {\bf x'})  .$ (I-10)

Donc, d'après l'équation (I-10), la contribution de l'intégrale dans l'équation (I-4) se limite au point $x' = x$. On peut donc considérer, dans cette intégrale, la sphère de rayon $h$ autour de ce point. Pour un rayon $h$ assez petit, la densité est constante dans la sphère et donc l'équation (I-4) devient

$\displaystyle \nabla_{\bf x} \cdot {\bf F}$ $\textstyle =$ $\displaystyle G m \rho({\bf x}) \int_{\vert{\bf x'}-{\bf x}\vert \leq h}
\nabl...
...-{\bf x} \over \left \vert{\bf x'}-{\bf x}
\right\vert^3} \right) d^3 {\bf x'}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - G m \rho({\bf x}) \int_{\vert{\bf x'}-{\bf x}\vert \leq h}
\na...
... x} \over \left \vert{\bf x'}-{\bf x}
\right\vert^3} \right)  d^3 {\bf x'}  .$ (I-11)

L'intégrale de l'équation (I-11) se résout avec le théorème de la divergence :
\begin{displaymath}
\fbox{$\displaystyle\textcolor{red}{
\int_V \nabla \cdot {\bf f}  dV = \int_S {\bf f} \cdot {\bf dS}}$}  ,
\end{displaymath} (I-12)

qui, en symétrie sphérique revient à faire une intégrale par parties :
\begin{displaymath}
\int {1\over r^2} 
{d\over dr} \left (r^2 f\right ) 4\pi r^2 dr =
4\pi r^2 f - \int r^2 f d(4\pi) = 4\pi r^2 f  .
\end{displaymath} (I-13)

Avec les équations (I-11) et (I-12), la divergence de la force devient donc

\begin{displaymath}
\nabla_{\bf x} \cdot {\bf F} =
- {G m \rho({\bf x}) \over h...
...vert = h}
\left ({\bf x'}-{\bf x} \right) \cdot d{\bf S'}  .
\end{displaymath} (I-14)

Or il est facile de voir que le vecteur d'élément de surface $d{\bf S'}$ est relié à l'élément d'angle solide $d\Omega$ par
\begin{displaymath}
d{\bf S'} = \left ({\bf x'}-{\bf x} \right) h  d\Omega  .
\end{displaymath} (I-15)

L'équation (I-15) donne $({\bf x'}-{\bf x})\cdot dS' =
h^3 d\Omega$ et l'équation (I-14) devient
\begin{displaymath}
\nabla_{\bf x} \cdot {\bf F} = - G m \rho({\bf x})
\int_{\...
...'}-{\bf x}\vert = h} d\Omega = -4\pi G  m  \rho({\bf x})  .
\end{displaymath} (I-16)

Avec l'équation (I-3), cela donne
\begin{displaymath}
\fbox{$\displaystyle\textcolor{red}{
\nabla^2 \Phi = 4\pi G \rho}$}  ,
\end{displaymath} (I-17)

qui est l'équation de Poisson. Le fait que dans l'équation (I-17) de Poisson, la densité s'apparente à une dérivée seconde du potentiel implique que les potentiels gravitationnels sont plus sphériques et réguliers que les profils de densité qui leur sont associés.

I.2.2 Applications de l'équation de Poisson en symétrie sphérique

En symétrie sphérique, le laplacien s'écrit

\begin{displaymath}
\nabla^2 f = {1\over r^2} {d\over dr} \left (r^2 {df\over dr} \right )
 .
\end{displaymath} (I-18)

Avec l'équation (I-18), l'équation (I-17) de Poisson devient
\begin{displaymath}
{1\over r^2} {d \over dr} \left ({r^2 d\Phi\over dr} \right ) = 4 \pi G \rho
\end{displaymath} (I-19)

ce qui donne l'expression simple pour le gradient du potentiel
\begin{displaymath}
\fbox{$\displaystyle\textcolor{red}{{d\Phi \over dr} = {GM(r) \over r^2}}$}  ,
\end{displaymath} (I-20)

où, par définition,
\begin{displaymath}
M(r) = \int_0^r 4\pi  s^2  \rho(s)  ds
\end{displaymath} (I-21)

On voit que dans l'équation (I-20), la force ne dépend que de la masse à l'intérieur du rayon $r$ (théorème de Gauss).

Considérons une particule test de masse $m$ en orbite circulaire de rayon $r$ dans un potentiel sphérique. D'après la seconde loi de Newton, la particule subit une force

\begin{displaymath}
{\bf F}({\bf r}) = -m {d\Phi\over dr} {\bf e_r} =
m  {\bf ...
...ga^2  {\bf r} = -m  {v_{\rm
circ}^2\over r}   {\bf e_r}  ,
\end{displaymath} (I-22)

${\bf a}$ est le vecteur accélération, $v_{\rm circ}$ est la vitesse circulaire et ${\bf e_r}$ est le vecteur unitaire dans la direction radiale (pointant vers l'extérieur). Les équations (I-20) et (I-22) donnent pour la vitesse circulaire :
\begin{displaymath}
\fbox{$\displaystyle\textcolor{red}{v_{\rm circ}^2 = {G M(r) \over r}}$}  .
\end{displaymath} (I-23)

I.2.3 Théorèmes de Newton

Les démonstrations de cette section figurent dans le Binney & Tremaine (1987, chap. 2.1.1).

Théorème 1 : A l'intérieur d'une coquille mince sphérique et homogène, la force gravitationnelle nette est nulle et le potentiel gravitationnel est constant.


\begin{displaymath}
\Phi({\bf r}) = \Phi(0) = -{G dM \over r_{\rm coquille}}
\end{displaymath} (I-24)

Théorème 2 : La force et le potentiel gravitationnel à l'extérieur d'une coquille sphérique sont les mêmes que si sa masse était concentrée en son centre.


\begin{displaymath}
\Phi({\bf r}) = -{G dM \over r}
\end{displaymath} (I-25)

Comme, les potentiels s'ajoutent de façon linéaire, le potentiel d'une distribution sphérique générale à la position $\bf r$ généré par une distribution sphérique de masse $\rho({\bf s})$ est obtenue en considérant séparément les coquilles à $s<r$ et $s>r$ (eqs. [I-24] et [I-25]) :

$\displaystyle \fbox{$\displaystyle\textcolor{red}{\Phi(r)}$}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \int_0^r {G  dM(s) \over r} - \int_r^\infty {G  dM(s) \over s}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle -{GM(r) \over r} -4\pi G \int_r^\infty \rho(s)
 s ds = \fbox{$\displaystyle\textcolor{red}{- \int_r^\infty {GM(s)  ds\over s^2}}$}  ,$ (I-26)

où la dernière égalité est obtenue par intégration par parties. La dernière égalité de l'équation (I-26) s'obtient aussi directement de l'expression (I-20) pour le gradient du potentiel.

I.2.4 Couples densité-potentiel

Il existe des profils simples de densité et/ou des potentiels simples qui sont communément employés pour les amas globulaires, galaxies elliptiques et amas de galaxies.

Kepler

Le potentiel de Kepler est celui provenant d'une masse très concentrée, c'est-à-dire une masse ponctuelle, à laquelle est associée le potentiel $\Phi(r) =
-GM/r$ et la vitesse circulaire

\begin{displaymath}
v_{\rm circ}^2 = {G M \over r}  .
\end{displaymath} (I-27)

Le potentiel de Kepler s'applique autour de trous noirs ainsi que loin des structures (e.g. galaxies).

isotherme singulier

Le profil de densité

\begin{displaymath}
\fbox{$\displaystyle\textcolor{red}{\rho(r) \propto {1\over ...
...$} =
\textcolor{green}{{v_{\rm circ}^2 / 4 \pi G \over r^2 }}
\end{displaymath} (I-28)

donne lieu à une masse qui diverge :
\begin{displaymath}
M(r) = {v_{\rm circ}^2  r \over G}
\end{displaymath} (I-29)

et une vitesse circulaire constante. Le potentiel de l'isotherme singulier non-tronqué diverge en $r = 0$ et $r
\rightarrow \infty$. Néanmoins, il peut s'écrire
\begin{displaymath}
\Phi(r) = \Phi(r_1) - v_{\rm circ}^2 \ln \left ({r\over r_1} \right )  ,
\end{displaymath} (I-30)

$r_1$ est un rayon quelconque.

Le profil singulier isotherme a été rendu populaire par l'observation de courbes de rotation plates autour des galaxies spirales ainsi que par la prédiction par les cosmologistes dans les années 70-80 de profils de densité de masse similaires (en $r^{-9/4}$ Gott 1975; Bertschinger 1985). Les cosmologistes, s'appuyant désormais sur des simulations à très haute résolution de l'évolution gravitationnelle de l'Univers, penchent maintenant vers des profils de densité de masse avec des pentes plus faibles au centre ($-1$ : Navarro, Frenk & White 1995; $-3/2$ : Fukushige & Makino 1997, Moore et al. 1998, voire homogène au centre Navarro et al. 2004) et plus forts aux bords ($-3$ : Navarro, Frenk & White 1995, voire plus : Navarro et al. 2004).

Plummer
Le profil de densité
\begin{displaymath}
\textcolor{green}{
\rho(r) = {\rho_0 \over \left [1 + (r/a)^2 \right ]^{5/2}}  ,
}
\end{displaymath} (I-31)

étudié d'abord par Schuster (1896), puis popularisé par Plummer a aussi des caractéristiques simples. C'est le polytrope d'indice 5, le plus petit indice donnant lieu à un polytrope d'étendue infinie. Sa masse intégrée est
\begin{displaymath}
M(r) = {M  (r/a)^3\over \left [1 + (r/a)^2 \right ]^{3/2}}  ,
\end{displaymath} (I-32)

avec une masse asymptotique $M = 4\pi/3  \rho_0  a^3$. Le potentiel de Plummer prend une forme très simple :
\begin{displaymath}
\fbox{$\displaystyle\textcolor{red}{
\Phi(r) = -{GM \over \sqrt{r^2+a^2}}
}$}
\end{displaymath} (I-33)

Au début du vingtième siècle, le modèle de Plummer était populaire car il semblait bien représenter la structure des amas globulaires.

Hernquist
Le profil de densité
\begin{displaymath}
\fbox{$\displaystyle\textcolor{red}{\rho(r) \propto r^{-1} ...
...}{{8 \rho(a)
\over \left (r/a\right) \left (r/a+1\right)^3}
}
\end{displaymath} (I-34)

est une très bonne approximation (Hernquist 1990) à la déprojection du profil en $R^{1/4}$ (aussi appelé modèle de Sérsic avec $m=4$), qui représente bien la brillance de surface des galaxies elliptiques géantes (de Vaucouleurs 1948; de Vaucouleurs & Capaccioli 1979). Par conséquent, le profil de Hernquist est souvent employé pour modéliser les galaxies elliptiques, voire même les amas de galaxies. Le profil de masse est
\begin{displaymath}
M(r) = M \left ({r \over r + a} \right)^2  ,
\end{displaymath} (I-35)

avec $M = 16\pi \rho(a)  a^3$. Le profil de Hernquist a aussi l'avantage d'être associé à un potentiel très simple :
\begin{displaymath}
\textcolor{green}{
\Phi(r) = -{GM \over \left (r+a \right)}
}  .
\end{displaymath} (I-36)

Ce potentiel a d'abord été employé par Gutowski & Larson (1976). Voir Hernquist (1990) pour les détails du modèle.

NFW
Depuis 1995, les très grosses simulations cosmologiques à $N$ corps donnent des structures ayant des profils de densité (Navarro, Frenk & White 1996)
\begin{displaymath}
\fbox{$\displaystyle\textcolor{red}{\rho(r) \propto r^{-1} ...
...{4 \rho(a)
\over \left (r/a\right) \left (r/a+1\right)^2}  .
\end{displaymath} (I-37)

Ce modèle, dit NFW, diverge logarithmiquement en masse à grande échelle. Son potentiel gravitationnel s'écrit (Cole & Lacey 1996)

\begin{displaymath}
\textcolor{green}{
\Phi(r) \propto - {\ln(1+r/a) \over r/a}  .
}
\end{displaymath}

Voir \Lokas & Mamon (2001) pour les détails du modèle.

D'autres (Fukushige & Makino 1997; Moore et al. 1998) ont trouvé dans leurs simulations cosmologiques à $N$ corps des profils de structures encore plus pentus au centre avec $\rho
\propto r^{-3/2}$ aux petits rayons.

Sérsic-3D
Récemment, Navarro et al. (2004) ont montré que les structures des très grosses simulations cosmologiques à $N$ corps sont encore mieux ajustés par l'analogue 3D du modèle de Sérsic (qui ajuste très bien les profils projetés des galaxies elliptiques)
\begin{displaymath}
\fbox{$\displaystyle\textcolor{red}{\rho(r) = \rho_0  \exp \left [-(r/a)^{1/m} \right ]}$}  ,
\end{displaymath} (I-38)

avec $\textcolor{red}{m \simeq 6}$. Le Sérsic-3D est plus esthétique que le NFW car il possède une densité centrale, $\rho_0$, finie et une masse totale qui converge. Son potentiel gravitationnel est donné par Cardone, Piedipalumbo & Tortora (2005). Il est parfois appelé profil d'Einasto, qui l'avait suggéré dans Einasto (1969) et avant dans un article de l'institut d'astrophysique d'Alma-Ata en 1965.

Figure I-1: Profils de densité (haut) et pentes associées (bas) des modèles couramment employés, où $r_{-2}$ est le rayon où la pente est $-2$.
\begin{figure}\htmlimage
\centering
\includegraphics[width=0.7\hsize]{IMAGES/rhoofrs.ps}\end{figure}
La figure I-1 illustre les profils de densité couramment employés, ainsi que leurs pentes associées. Les rayons maximaux où les structures sont en équilibre dynamique sont environ $10 r_{-2}$. Allant de 1% de ce rayon d'équilibre à ce rayon d'équilibre, les pentes varient typiquement de $-1$ à $-3.5$.


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Gary Mamon [x8115] 2009-01-29